比较好奇，拓扑方法是如何用到分析里的? 可否给出一些具体应用实例?

我来写一点我熟悉的东西。

非线性分析的一个核心任务就是找非线性方程的解，变分法的思路是把方程的解转化成泛函的临界点，然后再想办法提升解的正则性，一般来讲常见的无论是极小化方法，极大化方法还是min-max方法都不太涉及到拓扑的讨论，而是依赖于泛函的变分结构。但这种方法往往不够精细，而且往往只能证明解的存在性，而不能说明解的多重性，只利用变分结构很难说明你找到的一些解是不是不同的。这个时候我们就可以详细的去观察泛函的临界点会给泛函的水平集的拓扑结构带来什么样的变化。

这方面一个常见的工具就是所谓的无穷维Morse理论，具体的来说就是我们在一个临界点附近考察一些相对同调群，比如说泛函的水平集相对于泛函的水平集去掉这个临界点，熟悉拓扑或者有限维morse理论的人会知道，如果这样的同调群非平凡，那么这个临界点就真实的改变了水平集的拓扑结构，具体的来说就是往不含临界点的水平集上粘贴了恰好是Morse指标那么多维数的handle。这种东西我们一般叫critical group或者critical module。

当然说起来很轻松，但实际上这个同调群为什么会有意义？注意到我们事实上处理的是个无穷维的拓扑对象，还有临界点的morse指标是不是一定会是有限的，因为无穷维的球面是可缩的（有限维的球面当然不可以），也就是如果一个点的morse指标是无穷大，那么实际上并没有改变水平集的拓扑结构，这就需要一些所谓的有限维约化的argument，而这样的有限维约化往往依赖于泛函的变分结构。这方面一本常见的参考书是K.C.Chang的"infinite dimensional morse theory and multiple solution problems"。然后这个工具印象中有人做磁流的多重性，在二维Finsler球面上至少有两条闭测地线，六维欧式空间的超曲面上至少有三条闭特征的工作里面也大量的出现了。当然这个指标上面还可以带有群作用，比如上面提到的工作是利用了S1作用的Morse指标，这方面应该是Wang Wei有一些系统的研究。是多重性这个问题里常见的一种手段。相比于常见的变分方法以及pde的估计，这一类工具是我所更喜欢的。

当然拓扑的方法应用在非线性分析里不止这些，我算是学哈密顿系统相关的问题学的比较多，这个领域里还有一些古老的方法比如说conley指标，Rabinnowitz指标等等，甚至是category number这种更古老的办法，都可以算是拓扑的方法，当然核心都是看临界点是如何影响水平集的拓扑结构，但是拓扑结构有非常多种刻画的办法，所以也有各种工具。

至于说再往下延伸的话，那么辛拓扑里面常见的一些floer同调什么的也能算在里面，但是那严格来讲不是个非线性分析的问题，这里不加赘述。

一个最基本的例子就是拓扑度，这是非线性分析中最常用的研究方法之一。其基本的思想就来源于向量场的拓扑结构分析，也就是所谓的奇点指标理论。这个奇点指标理论被推广到无穷维的情形就是肖德度，也是拓扑度的一种，在非线性分析中用来判断解的存在性以及在分歧理论都有基本的重要性。

还有一个比较常见的理论叫德拉姆理论，其本质就是把代数拓扑的一系列理论推广到流形的微分形式上，也是非线性空间的分析理论。在这种框架之下，微积分中的各种理论都可以自然推广到非线性空间中，代数拓扑中的各种代数结构作为拓扑不变量也进入了非线性分析中。

拓扑中“Brouwer不动点定理”常常可以用来证明一些特殊的非线性偏微分方程解的存在性。这里比如说von Karman方程，Navier-Stokes方程。我们可以把这些方程转化为变分的形式，之后用Galetkin方法，把可数维的函数空间投影在有限维上。最后用Brouwer 不动点定理去证明有限维上有解，接着去证有限维上解逼近真实解。(使用Banach-Eberlein-Smulian定理)

这里需要注意，Galetkin 方法中那个有限维空间中的”解”所满足的变分方程并不一定是原来变分方程(它其实某种意义上是原来方程的一个”近似”)。此外，怎么选取这个有限维的空间是很有意思的(在von Kerman方程中，它就是原空间的基构成的子空间。在N-S方程中，这个空间上散度处处为0)，总的来说是秉持把原来方程弄简单的方向去。

这篇文章如何？HOMOLOGY AND COHOMOLOGY COMPUTATION IN FINITE ELEMENT MODELING

玩家 @Ruiliang Gao 回答得很好了。

一些非线性分析入门的教程都会涉及拓扑度理论，用以讨论算子方程的可解性。

Banach流形上比较深入的拓扑方法，比如无穷维Morse理论，可以参考Ruiliang Gao的回答。主要思路就是考察水平集的临界同调群，有限维空间的几何直观可以直接翻阅Milnor的《Morse理论》这本书。

补充说一下Ljusternik-Schnirelman畴数理论，这是一个可以视为无穷维Morse理论平行的一种拓扑方法。这种畴数是一个拓扑指标，并且这个数给出了Banach流形上泛函的临界点个数的下界，或者说，给出了一个非线性PDE解的个数的下界。与无穷维Morse理论不同的是，这是一般临界点理论，即临界点不必是非退化的！在分岔理论中特别有效。

具体可参考我反复推荐的这本书：（美）M.S.伯杰《非线性及泛函分析——数学分析中的非线性问题讲义》

有限维Ljusternik-Schnirelman畴数理论在《现代几何学方法与应用，第三卷》中也有详细介绍。